1074 - 「NOI2015」小园丁与老司机

小园丁 Mr. S 负责看管一片田野，田野可以看作一个二维平面。田野上有 n 棵 许愿树，编号 1,2,3,\dots,n ，每棵树可以看作平面上的一个点，其中第 i 棵树 (1 \leq i \leq n) 位于坐标 (x_i, y_i) 。任意两棵树的坐标均不相同。

老司机 Mr. P 从原点 (0,0) 驾车出发，进行若干轮行动。每一轮，Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向：

1.为左、右、上、左上 45\degree、右上 45\degree 五个方向之一。

2.沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。

完成选择后，Mr.P 沿该方向直线前进，必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树，在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择，则停止行动。他会采取最优策略，在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一，可以选择任意一种。

不幸的是，小园丁 Mr.S 发现由于田野土质松软，老司机 Mr.P 的小汽车在每轮行进过程中，都会在田野上留下一条车辙印，一条车辙印可看作以两棵树（或原点和一棵树）为端点的一条线段。

在 Mr.P 之后，还有很多许愿者计划驾车来田野许愿，这些许愿者都会像 Mr.P 一样任选一种最优策略行动。Mr.S 认为非左右方向（即上、左上 45\degree、右 上 45\degree 三个方向）的车辙印很不美观，为了维护田野的形象，他打算租用一些轧路机，在这群许愿者到来之前夯实所有“可能留下非左右方向车辙印”的地面。“可能留下非左右方向车辙印”的地面应当是田野上的若干条线段，其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式：

1.从原点或任意一棵树出发。

2.只能向上、左上 45\degree、右上 45\degree 三个方向之一移动，并且只能在树下改变方向或停止。

3.只能经过“可能留下非左右方向车辙印”的地面，但是同一块地面可以 被多台轧路机经过。

现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题：

1.请给 Mr.P 指出任意一条最优路线。

2.请告诉 Mr.S 最少需要租用多少台轧路机。

第 1 行包含 1 个正整数 n，表示许愿树的数量。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 2 个整数 x_i,y_i，中间用单个空格隔开，表示第 i 棵许愿树的坐标。

包括 3 行。

第 1 行输出 1 个整数 m，表示 Mr. P 最多能在多少棵树下许愿。

输出文件的第 2 行输出 m 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，表示 Mr.P 应该依次在哪些树下许愿。

输出文件的第 3 行输出 1 个整数，表示 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。

样例 1 解释

最优路线共 2 条，可许愿 3 次：(0,0) \rightarrow (1,1) \rightarrow (-1,1) \rightarrow (-2,2) 或 (0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)。

至少 3 台轧路机，路线是 (0,0) \rightarrow (1,1)，(-1,1) \rightarrow (-2,2) 和 (0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)。

样例 2 解释

最优路线唯一：(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (-2,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,2)，可许愿 4 次。其中在 (0,1) 许愿后，从 (-2,1) 出发沿着向右的方向能够到达的最近的未许愿过的树是 (2,1)，所以可以到达 (2,1)。

而如果沿着 (0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (-2,1) 的方向前进，此时 (-2,1) 右边所有树都是许愿过的，根据题目条件规定，停止前进。故无法获得最优解。

(0,0) \rightarrow (0,1) 与 (2,1) \rightarrow (3,2) 会留下非左右方向车辙印，需 2 台轧路机。